Bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: İstanbul Ticaret Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2022

Tezin Dili: Türkçe

Öğrenci: REYHAN TELLİOĞLU BALEKOĞLU

Danışman: KÖMBE İSMAİL

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Bu doktora tez çalışmasında, ilk olarak bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden; potansiyel ve kaynak terimi içeren hızlı difüzyon denklemi, $p-$Laplasyan evolüsyon denklemi ve ikili doğrusal olmayan parabolik denklem tipindeki problemlerin pozitif çözümlerinin yokluğu Robin sınır koşulu altında, $\mathbb{R}^N$'in düzgün sınıra sahip sınırlı $\Omega$ bölgesinde araştırılmıştır: \begin{fleqn} \begin{equation*}\label{1} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta( u^m)+V(x)u^{m}+ \gamma u^r & \text{,}\quad \Omega \times (0, T ) ,\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{,} \quad\Omega ,\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta (x) u & \text{,} \quad \partial \Omega \times (0,T), \end{cases} \end{equation*} \end{fleqn} ve \begin{fleqn} \begin{equation*}\label{2} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_p u+V(x)u^{p-1}+ \gamma u^r & \text{,}\quad \Omega \times (0, T ) ,\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{,}\quad \Omega ,\ |\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u & \text{,}\quad \partial \Omega \times (0,T), \end{cases} \end{equation*} \end{fleqn} ve \begin{fleqn} \begin{equation*}\label{3} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\text{div}(m u^{m-1}|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+V(x)u^{m+p-2}+\gamma u^r & \text{,}\quad \Omega \times (0, T ),\ u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{,} \quad\Omega, \ |\nabla u|^{p-2}\frac{\partial u}{\partial \nu}=\beta |u|^{p-2} u & \text{,} \quad \partial \Omega \times (0,T). \end{cases} \end{equation*} \end{fleqn} Burada $\Delta_p u= \text{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u)$ $p-$Laplasyan operatörü, $V\in L_{loc}^1(\Omega)$, $\beta \in L_{loc}^1(\partial\Omega)$, $\gamma \in \mathbb{R}$, $1 0$ ve $r>0$' dır. Daha sonra, elde edilen ağırlıklı Sobolev iz eşitsizlikleri yardımıyla bulunan sonuçlar üzerinden bazı tekil potansiyel seçimleri ile problemlerin birçok uygulaması yapılmuştır. Bu çalışmanın diğer bir amacı olarak, kısmi diferansiyel denklemlerin analizinde önemli bir rolü olan Hardy-Leray tipinde yeni eşitsizlikler kanıtlanmıştır. Gösterilen kalan terime sahip $L^2$ ve $L^p$ genel Hardy-Leray tipindeki eşitsizliklerde, belirtilen şartlara uygun ağırlık fonksiyonları alınarak çeşitli eşitsizlikler bulunmuştur.