RATIONAL APPROXIMATION OF SYNAPTIC DELAY IN A NEURAL POPULATION MODEL

16. Uluslararası Azerbaycan Fen, Mühendislik, Matematik ve Uygulamalı Bilimler Kongresi, Baku, Azerbaijan, 20 - 22 September 2026, (Summary Text)

Ortalama alan yaklaşımında ikinci dereceden bir sinaptik filtre aracılığıyla birbirine bağlı,

karesel entegre edici ve eşik (QIF) nöronlarından oluşan bir popülasyon, karesel katsayının

sabitliği nedeniyle doğrusal Hill denklemine tam bir doğrusallaştırma sağlayan karmaşık bir

Riccati denklemi ile tanımlanır. Bu makalede, bu filtrenin, sinaptik iletimin doğal bir alternatif

modeli olan saf bir ayrık sinaptik gecikme ile değiştirilmesi durumunda ne olduğunu

inceliyoruz. Bu değiştirme altında tam doğrusallaştırmanın nokta bazında korunduğunu

gösteriyoruz; ancak, öz-tutarlı kararlılık problemi gerçekten sonsuz boyutlu hale gelir ve

gecikmeli diferansiyel denklemler (DDE'ler) için klasik karakteristik denklemler aparatını

gerektirir. Doğrusallaştırılmış sistemin karakteristik denklemi açıkça türetilir ve |Z(ω)|=1

yöntemi (klasik Cook-van den Driessche tekniği) kullanılarak sayısal olarak çözülür; Bağlantı

katsayısı k=3.0'ın temsili bir değeri için Hopf çatallanma noktası bulundu: τ_H=0.058107,

ω_H=7.291585. Çatallanmanın alt kritik olduğu bulundu; bu sonuç, gecikmeli diferansiyel

denklemin doğrudan doğrusal olmayan modellemesiyle doğrulandı: eşik ötesindeki

bozulmaların genliği, √ε yasasından önemli ölçüde daha hızlı büyüyor ve artan entegrasyon

süresiyle doygunluğa ulaşmıyor. Ayrıca, orijinal filtrenin, gecikmenin sonlu bir birinci

dereceden filtre zinciriyle klasik rasyonel bir yaklaşımı olan "doğrusal zincir hilesinin" tam

olarak iki aşamalı özel bir durumu olduğu gösterildi; böyle bir zincirin Hopf noktası, artan

aşama sayısı n ile gecikme için gerçek sonuca sayısal olarak O(1/n) oranında yakınsıyor. Son

olarak, Fourier kaydırma teoremi kullanılarak, saf bir gecikmenin, herhangi bir sonlu

mertebeden filtrenin aksine, harmoniklerin spektral filtrelemesini hiç üretmediği analitik olarak

kanıtlanmış ve sentetik bir test sinyali üzerinde sayısal olarak doğrulanmıştır; bu da filtrelenmiş

modelde mevcut olan hesaplama hızlanmasının burada eşdeğerinin olmamasının nedenini

açıklamaktadır. Tüm analitik sonuçlar sembolik olarak (sympy) yeniden kontrol edilmiş ve tüm

sayısal sonuçlar, bu araştırma serisindeki önceki çalışmaların metodolojisine uygun olarak

bağımsız yöntemler (DDE'nin doğrudan entegrasyonu, karakteristik denklemin çözümü,

spektral analiz) kullanılarak doğrulanmıştır. Böylece, bu çalışma, sinaptik filtreden sinaptik

gecikmeye geçişte klasik Riccati doğrusallaştırma tekniğinin akıbeti sorusuna kesin bir cevap

vermektedir: doğrusallaştırmanın kendisi bu değişim altında kararlıdır, ancak kararlılık

probleminin temelde farklı (sonsuz boyutlu, alt kritik) bir yapısını ortaya koymaktadır; bunun

için açık bir sonlu boyutlu yaklaştırma köprüsü önerilmektedir.